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浅谈数学中的一种常用解题策略——转化

浅谈数学中的一种常用解题策略——转化

“转化”是数学中最常用最基本的思维方式之一。转化就是在分析解决问题时,把那些待解决或难解决的问题,通过某种转 化过程,把复杂、隐蔽的问题转化为简单、明显的问题。初中数 学的转化方法多种多样,常用的有下列几种:

  一、高次(或多元)向低次(或低元)转化;

   例1已知X2-2X-l=0,则代数式X3—X2—3X十2的值是 (97年广东省初三数学竞赛第一道试题)

  (A)O (B)1 (C)2 (D)3

  分析:此题若通过已知X2-2X-1=0解得

   X=1土 代入原式求出答案,显然运算量大。因此为了减少运算量,我们应将问题转化,经分析可知:X2=2X十1代人原式,从而达到降次的目的,最后得到正确答案(D),由此可见,通过降次,可以将复杂问题转化为简单低次的问题,从而得到解决。

  分析:解多元方程组的思想方法是将多元方程组转化为低元方程组,最后转化为一次方

程而求得,此题的解题思想方法如下所示: 三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程

  二、特殊与一般的互相转化从特殊(一船)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科 学领域中进行探索,发现真理知识的重要途径。

  例3圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半。

  分析:考虑到圆周角与圆心角的一般关系,我们可以分为下列三种情况来证明。

  (1)如图1圆心在圆周角的一边上:

  易证得∠APB=1/2∠AOB

  (2)如图2圆心在圆周角的内部:

  易证∠APB=∠APS-∠BPS=1/2∠AOS -1/2∠BOS=1/2∠AOS

  (3)如图3圆心在圆周角的外部:

  易得∠APB=∠APS-∠BPS =∠AOS-1/2∠BOS 』 J =1/2∠AOB

  综上所述,不论哪种情况,圆周角都等于它所对的弧所对的圆心角的一半,从而命题得

证(详细过程参考《几何》第三册P91-92)这是由特殊到一般的转化。

  例4 如图4,已知定圆⊙O1;与定圆⊙02外切于P点,AB 是过切点P的任一直线分别与⊙01和⊙02交于A、B 求证: AP/BP是一个定值。则应先找出这个定值,而题中给出的条件中固定不变的只有两圆的半径(不防设为R.r)即要证AP/BP与R,r有 关,由此启发我们过切点P作⊙Ol与⊙02的直径CD构成Rt △APC~Rt△BPD,得出AP/BP=CP/DP=r/R:参由此可见,找出定值的进程就是由一船到特殊转化的过程。

  三、正面向反面的转化。

   很多数学的问题正面难于入手,但从问题的反面则易于解决,故此我们通常用正面向

反面的转化方法去解决一些数学问 题。

   例5若三个方程

  至少有一个方程有实数解,试求实数a的取值范围。

  分析:条件“至少有一个方程有实数解”的情况十分复杂,如逐个方程讨论,势必造成

运算过程繁琐,且容易出错。但若从 这个问题的反面去思考,将问题转化为“三个方程都没有实数解”,则使问题变得单一、明白,由此可得

  综合得出- <a<-1时,三个方程都没有实数解,由此可知, 当a≤- 或a≥-1时,三个方程必定有一个方程有实数根。

  四、隐含向明朗转化。

  由于有些数学问题表面上没有任何突破口、入手之处,但只要我们认真分析找出题中隐

蔽原条件,就会使问题迎刃而解。

   例6化简:(2+1)(22+1)(24+1)…(264+1)+1

  (摘初一级第八届“希望杯”培训题)

  分析:此题初看起来难于动笔,查只要认真分析,观察一下题型结构,较快发现一个隐

蔽条件:1=2-1,再利用平方差公 式,很易使问题得到解决。

  解:原式=(2-1)(2-1)(22十1)…(264十1)十1

     =(22-1)(22十1)(24十1)…(264十1)十1

       =2128

  五、数与形的相互转化。

  例△ABC的三边为连续的自然数,且最大 角为最小角的二倍,求三边长(95年天津市,初三竞赛题)

  分析:这道题的常见解法是构造三角形法,依题目的已知条件,构造如图5设∠CAB=2

∠C,对应边分别为X-1,X,X十1延长CA到 D,使AD=AB,连结BD,得到△ADB。△BDC,,解得x=5

  从而得出三角形三边之长

   六、综合(或复杂)向单一(或简单)的转化,是解综合题 的常用思维方法之一。

  例8如图690n与①02外切于点 P,CD为两圆的外公切线,PT为两圆的 内公切线,且①O,与①02的半径分别为— 9和4

  (1)求PT的长;

  (2)求Sin01的值;

  (3)证明PC·PD=PA·PB;

  (95年广西壮族自治区升中试第31题)

  分析:这个综合(或复杂)题可以转化为三个单一(或简 单)的基本问题是:

  1、在△PCD中,若TC=Pr=TD,点T在cD上cD=12,求 Pr的长;

  2、在直角梯形DC0102中,若O1C=9,02D=4,0102=13, 求SinOl的值;

  3、若BC//AD、CA与BD相交于点P,求证PC·PD=PA·PB 这样分为三个小题后,问题(1),(2)易解决,而问题(3) 只证得点C、O、B共线,点D、02、A共线,即可得CB//DA,从而得出PC/PB=PD/PA得出结论PC·PA=PD·PB

  综上可知,转化的思想方法是解决数学问题的一种最常见最基础的思维方法,也是作为

一名中学生(或中学教师)必须掌握 并灵活运用的思维方法,而常见的六种转化,也是中学数学中最 常用的转化手段。

 

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